Question

（2012•江西）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（1）求cosA；
（2）若a=3，△ABC的面積為2

2

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的余弦函數公式化簡已知等式左邊的第一項，移項合并后再利用兩角和與差的余弦函數公式得出cos（B+C）的值，將cosA用三角形的內角和定理及誘導公式變形后，將cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；
（2）由cosA的值及A為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入，得出bc=6，記作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出關于b與c的關系式，記作②，聯立①②即可求出b與c的值．

解答：解：（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，
化簡得：3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，
變形得：3（cosBcosC-sinBsinC）=-1，
即cos（B+C）=-

1

3

，
則cosA=-cos（B+C）=

1

3

；
（2）∵A為三角形的內角，cosA=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
又S_△ABC=2

2

，即

1

2

bcsinA=2

2

，解得：bc=6①，
又a=3，cosA=

1

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²=13②，
聯立①②解得：

b=2 c=3

或

b=3 c=2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的余弦函數公式，誘導公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．