Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，∠BAC=90°，D是BC邊的中點，E為AA₁的中點，直線A₁C與底面ABC所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：A₁C∥面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A-BE-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證A₁C∥面AB₁D可證明過A₁C的平面與面AB₁D平行因此取B₁C₁的中點G連接A₁G，CG根據(jù)直棱柱的性質(zhì)可得面A₁GC∥面AB₁D而面A₁C在面A₁GC內(nèi)故得證．
（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)可得CA⊥面AA₁B₁B然后再利用三垂線定理作出二面角的平面角再解三角形即可．
解答：解：（1）取B₁C₁的中點G連接A₁G，CG則A₁G∥AD，CG∥B₁D
∴面A₁GC∥面AB₁D
∵A₁C?面A₁GC
∴A₁C∥面AB₁D
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°
∴CA⊥AB，CA⊥AA₁且AB∩AA₁=A
∴CA⊥面AA₁B₁B
∴過A作AF⊥BE垂足為F連接CF則由三垂線定理知∠AFC即為二面角A-BE-C的平面角
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，直線A₁C與底面ABC所成的角為60°
∴∠A₁CA=60°
∴在RT△A₁AC中AC=2，A₁A=ACtan60°=2
∴AE=
∴RT△BAE中AB=2，AE=∴
∵BE×AF=AB×AE
∴AF=
∴tan∠AFC==
∴∠AFC=arctan
即二面角A-BE-C的大小為arctan
點評：本題主要考查了線面平行的證明及二面角的平面角的做法和求二面角的大�。�證明此題的關(guān)鍵是要證明線面平行要么利用線面平行的判定定理要么利用面面平行得出線面平行要么利用空間向量證明此線與平面的法向量的數(shù)量積為0即可而二面角的作出需過其中一個平面內(nèi)的一點向另一平面做垂線然后利用三垂線定理作出二面交的平面角但一般情況下垂線不是隨意作出的而是題中某些特定線段！