【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)當時,設(shè)函數(shù)的最小值為,求證:;
(3)求證:對任意的正整數(shù),都有.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1) 題意知f′(x)=ex-a≥0對x∈R恒成立,ex>0進而得到結(jié)果;(2)由a>0,及f′(x)=ex-a,得到函數(shù)的單調(diào)性,故得到函數(shù)f(x)的最小值為g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1,再對這個函數(shù)求導得到函數(shù)的單調(diào)性和最值,進而得到結(jié)果;(3)由前一問得到(x+1)n+1<(ex)n+1=e(n+1)x令,得到,再賦值:依次代入上述不等式,做和,放縮,利用等比數(shù)列求和公式可得到結(jié)果.
(1)由題意知f′(x)=ex-a≥0對x∈R恒成立,且ex>0,
故a的取值范圍為(-∞,0].
(2)證明:由a>0,及f′(x)=ex-a,
可得函數(shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,
故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1,則g′(a)=-lna,
故當a∈(0,1)時,g′(a)>0,
當a∈(1,+∞)時,g′(a)<0,
從而可知g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且g(1)=0,
故g(a)≤0.
(3)證明:由(2)可知,當a=1時,
總有f(x)=ex-x-1≥0,當且僅當x=0時等號成立.即當x+1>0且x≠0時,總有ex>x+1.于是,可得(x+1)n+1<(ex)n+1=e(n+1)x.
令x+1=,即x=-,可得;
令x+1=,即x=-,可得;
令x+1=,即x=-,可得;
……
令x+1=,即x=-,可得.
累加可得
.
故對任意的正整數(shù)n,都有.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值;
(2)當時,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,.
(1)若,求證:,,必可以被分為1組或2組,使得每組所有數(shù)的和小于1;
(2)若,求證:, …,,必可以被分為組,使得每組所有數(shù)的和小于1.
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【題目】已知橢圓的離心率為,焦點分別為,點是橢圓上的點,面積的最大值是.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點,點是橢圓上的點,是坐標原點,若判定四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出定值;如果不是,請說明理由.
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【題目】十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求,帶領(lǐng)農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康,扶貧辦計劃為某農(nóng)村地區(qū)購買農(nóng)機機器,假設(shè)該種機器使用三年后即被淘汰.農(nóng)機機器制造商對購買該機器的客戶推出了兩種銷售方案:
方案一:每臺機器售價7000元,三年內(nèi)可免費保養(yǎng)2次,超過2次每次收取保養(yǎng)費200元;
方案二:每臺機器售價7050元,三年內(nèi)可免費保養(yǎng)3次,超過3次每次收取保養(yǎng)費100元.
扶貧辦需要決策在購買機器時應該選取那種方案,為此搜集并整理了50臺這種機器在三年使用期內(nèi)保養(yǎng)的次數(shù),得下表:
保養(yǎng)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
臺數(shù) | 1 | 10 | 19 | 14 | 4 | 2 |
記表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的保養(yǎng)次數(shù).
(1)用樣本估計總體的思想,求“不超過2”的概率;
(2)若表示1臺機器的售價和三年使用期內(nèi)花費的費用總和(單位:元),求選用方案一時關(guān)于的函數(shù)解析式;
(3)按照兩種銷售方案,分別計算這50臺機器三年使用期內(nèi)的總費用(總費用=售價+保養(yǎng)費),以每臺每年的平均費用作為決策依據(jù),扶貧辦選擇那種銷售方案購買機器更合算?
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【題目】已知F為拋物線的焦點,F關(guān)于原點的對稱點為,點M在拋物線C上,給出下列三個結(jié)論:
①使得為等腰三角形的點M有且僅有6個
②使得的點M有且僅有2個
③使得的點M有且僅有4個
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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【題目】已知函數(shù),若方程f(x)=a有四個不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,則的取值范圍為( 。
A. (﹣1,+∞)B. (﹣1,1]C. (﹣∞,1)D. [﹣1,1)
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【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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