Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=

an-1

an+1

（n∈N^*），T_n為數(shù)列{a_n}的前n項之積，則T₂₀₁₀=（　�。�

• A、

  3

  2

• B、-

  1

  6

• C、

  2

  3

• D、-6

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：依題意，可求得a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=1，數(shù)列{a_n}是以4為周期的函數(shù)數(shù)列，從而可得答案．

解答： 解：∵a₁=3，a_n+1=

an-1

an+1

（n∈N^*），
∴a₂=

3-1

3+1

=

1

2

，a₃=

1 2 -1

1 2 +1

=-

1

3

，a₄=

- 1 3 -1

- 1 3 +1

=-2，a₅=

-2-1

-2+1

=3，…
即a_n+4=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的函數(shù)，
又a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=1，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項之積，
∴T₂₀₁₀=（a₁•a₂•a₃•a₄）•（a₅•a₆•a₇•a₈）…（a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈）•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=a₁•a₂=

3

2

，
故選：A．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，突出考查數(shù)列的求和，分析得到數(shù)列{a_n}是以4為周期的函數(shù)數(shù)列，且a₁•a₂•a₃•a₄=1是關(guān)鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．