Question

已知m∈R，設(shè)命題P：?x∈{x|-2＜x＜2}，使等式x²-2x-m=0成立；命題Q：函數(shù)f（x）=3x²+2mx+m+

4

3

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題先對(duì)命題p、q進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化，再將條件“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，轉(zhuǎn)化為命題p、q中一個(gè)命題為真，另一個(gè)命題為假，得到關(guān)于m的不等式，解不等式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：命題p等價(jià)于方程x²-2x-m=0在區(qū)間（-2，2）上有解．
記g（x）=x²-2x-m，
則

g(1)≤0 g(-2)＞0

，
∴

-m-1≤0 8-m＞0

，
∴-1≤m＜8．
命題q：由方程3x2+2mx+m+

4

3

=0的根的判別式
△=4m2-12(m+

4

3

)=4m²-12m-16＞0，
得m＜-1或m＞4．
∵“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，
∴命題p、q中，一個(gè)為真，另一個(gè)為假．
∴當(dāng)命題p真q假時(shí)，m＜-1或m≥8，
當(dāng)命題p假q真時(shí)，-1≤m≤4．
∴m≤4或m≥8．
實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，4]∪[8，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根的存在性、“或”命題和“且”命題的真假判斷，本題計(jì)算量較大，屬于中檔題．