Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2，AD=$\sqrt{3}$，∠DAB=$\frac{π}{6}$，PD⊥AD，PD⊥DC．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-D為$\frac{π}{3}$，求AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥BD，PD⊥BC，即可證明BC⊥平面PBD；
（2）確定∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得AP與平面PBC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵AB=2，AD=$\sqrt{3}$，∠DAB=$\frac{π}{6}$，
∴BD=$\sqrt{4+3-2×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，∴BC⊥BD
∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD；
（2）解：由（1）所證，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=$\frac{π}{3}$
而BD=1，所以PD=$\sqrt{3}$，
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$）
所以$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a=0}\\{-b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$
可解得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=|$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}•2}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確運用向量法求線面角．