Question

3．O為△ABC內(nèi)一點，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，△ABC和△OBC的面積分別是S_△ABC和S_△OBC，則$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$的比值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可取AB的中點D，AC的中點E，然后畫出圖形，根據(jù)$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$便可得到$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$，從而得出D，O，E三點共線，這樣即可求出$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：如圖，取AB中點D，AC中點E，則：

$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
=$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）+（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$
=$2\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OE}$
=$\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$；
∴D，O，E三點共線，DE為△ABC的中位線；
∴${S}_{△OBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)乘的幾何意義，三角形的面積公式．