Question

已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù)
 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的生成列；
（Ⅱ）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同；
（Ⅲ）對于中的排列，進(jìn)行如下操作：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列．證明：新的排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加．

Answer 1

（Ｉ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：弄懂已知條件“對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．”是解題的關(guān)鍵；把握第(I)問，由特殊到一般，才能順利求（II）(III).
試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為．             3分
（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．
從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，，，，．
顯然 ，，，，下面證明：．          5分
由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．
同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．
因?yàn)?與是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且，所以 ， 從而 ． 所以排列和的生成列也不同．                     8分
（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以 ．                   9分
依題意進(jìn)行操作，排列變?yōu)榕帕?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824020948698780.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)該排列的生成列為．                                                          10分
所以
     ．
所以，新排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加．      13分