Question

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸于x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 3 t y= 3 +t

，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+16-a²=0（其中a為正實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）求直線l和圓C的普通方程；
（Ⅱ）若圓C上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（Ⅰ）先消去直線l的參數(shù)方程中的參數(shù)，得到直線的普通方程，再利用公式將圓C的極坐標(biāo)方程化成平面直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，利用直線與圓的特殊位置關(guān)系，得到點(diǎn)線距離，從而求出a的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 3 t y= 3 +t

，
∴x-1=

3

(y-

3

)，
∴x-

3

y+2=0．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+16-a²=0可化為：x²+y²-8x+16-a²=0
即（x-4）²+y²=a²，（a＞0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：圓心C（4，0）到直線l：x-

3

y+2=0的距離為：
d=

|4-0+2|

1+3

=3．
∵圓C上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為2，
∴圓C的半徑為：a=d+2=3+2=5．
∴a=5．

點(diǎn)評：本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，本題計(jì)算量適中，有一定的綜合性，屬于中檔題．