Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，底面ABCD是直角梯形，且 AB⊥AD，AD=3，∠CDA=45°，點E在線段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ） 求二面角B-PC-D的余弦值的絕對值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：如圖，
∵CE∥AB，AB⊥AD，∴CE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴PA⊥CE
又∵PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：由CE⊥AD，∴△CED為直角三角形，又∠CDA=45°，
∴ED=CE=1，又AD=3，則AE=2，∴BC=2，
則直角梯形ABCD的面積為，
所以，=．
（Ⅲ）解：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則各點坐標分別為：A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0）．
，，，
設平面PBC的法向量，平面PCD的法向量為
則，即，不妨取z=1，則，
，即，不妨取y₁=1，則z₁=3，x₁=1，
∴．
∴===．
所以，二面角B-PC-D的余弦值的絕對值為．
分析：（Ⅰ）要證明CE⊥平面PAD，只要證明CE垂直于面PAD內(nèi)的兩條垂線即可，由PA垂直于底面，可得PA⊥CE，根據(jù)CE∥AB，
AB⊥AD，可得CE⊥AD，則利用線面垂直的判定得到證明；
（Ⅱ）求出底面直角梯形的面積后直接代入棱錐的體積公式即可；
（Ⅲ）把求二面角B-PC-D的余弦值的絕對值，轉化為求兩個面的法向量所成角的余弦值的絕對值，可以利用空間向量來解決，以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建系，列出要用點的坐標，求出兩個平面的法向量，運用向量夾角公式求夾角的余弦值．
點評：本題考查了線面垂直的判定，考查了棱錐體積公式的求法，訓練了利用平面法向量求二面角的大小，利用空間向量解決問題，關鍵是能夠找到三條兩兩相互垂直的直線，這是建系的基礎，此題是中檔題．