【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥ 時,設(shè)g(x)=2f(x)+x2的兩個極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2)恰為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點(diǎn),求y=(x1﹣x2)h′( )的最小值.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=lnx﹣mx,∴ ,x>0;
當(dāng)m>0時,由1﹣mx>0解得x< ,即當(dāng)0<x< 時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
由1﹣mx<0解得x> ,即當(dāng)x> 時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)m=0時,f'(x)= >0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)m<0時,1﹣mx>0,故f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
∴當(dāng)m>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ),單調(diào)遞減區(qū)間為( ,+∞);
當(dāng)m≤0時,f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞); …(5分)
(2)解:g(x)=2f(x)+x2=2lnx﹣2mx+x2,則 ,
∴g'(x)的兩根x1,x2即為方程x2﹣mx+1=0的兩根;
又∵m≥ ,
∴△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1;
又∵x1,x2為h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點(diǎn),
∴l(xiāng)nx1﹣cx12﹣bx1=0,lnx2﹣cx22﹣bx2=0,
兩式相減得 ﹣c(x1﹣x2)(x1+x2)﹣b(x1﹣x2)=0,
得b= ,
而 ,
∴y=
= ]
= = ,
令 (0<t<1),
由(x1+x2)2=m2得x12+x22+2x1x2=m2,
因?yàn)閤1x2=1,兩邊同時除以x1x2,得t+ +2=m2,
∵m≥ ,故t+ ≥ ,解得t≤ 或t≥2,∴0<t≤ ;
設(shè)G(t)= ,
∴G'(t)= ,則y=G(t)在(0, ]上是減函數(shù),
∴G(t)min=G( )=﹣ +ln2,
即 的最小值為﹣ +ln2
【解析】(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),討論m的取值,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù),利用極值的定義得出g'(x)=0時存在兩正根x1 , x2;
再利用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合零點(diǎn)的定義,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)y的最小值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
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(1)求C的離心率;
(2)設(shè)l的斜率為1,在C上是否存在一點(diǎn)M,使得 ?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, 平面,,點(diǎn)是上的點(diǎn),且 .
(1)求證:對任意的 ,都有.
(2)設(shè)二面角C-AE-D的大小為 ,直線BE與平面所成的角為 ,
若,求的值.
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【題目】在△中,已知,直線經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)若直線:與線段交于點(diǎn),且為△的外心,求△的外接圓的方程;
(Ⅱ)若直線方程為,且△的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】已知函數(shù) , 其中a∈R.若對任意的非零實(shí)數(shù)x1 , 存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)成立,則k的取值范圍為( 。
A.k≤0
B.k≥8
C.0≤k≤8
D.k≤0或k≥8
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