Question

已知橢圓C的焦點F₁（-，0）和F₂（，0），長軸長6．
（1）設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標．
（2）求過點（0，2）的直線被橢圓C所截弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)焦點坐標得出橢圓的焦點在x軸上，由橢圓的焦點坐標得出c的值，再由長軸的值求出a的值，進而利用橢圓的性質(zhì)求出b的值，確定出橢圓的標準方程，與直線y=x+2聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，設出兩交點A與B的坐標，利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和，即為兩交點橫坐標之和，利用中點坐標公式即可求出AB中點M的橫坐標，代入直線方程可得M的縱坐標，進而確定出線段AB的中點坐標；
（2）設過點（0，2）的直線方程的斜率為k，表示出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個不同的交點，得到根的判別式大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，設出直線與橢圓的兩交點坐標，利用韋達定理表示出兩交點橫坐標之和，利用中點坐標公式表示出線段AB中點C的橫坐標，代入直線方程可得C的縱坐標，消去參數(shù)k即可得到所求的軌跡方程．
解答：解：（1）由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中c=，a=3，從而b=1，
所以其標準方程是：．
聯(lián)立方程組，消去y得，10x²+36x+27=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段中點為M（x，y），
那么：，，
所以，
也就是說線段AB中點坐標為；
（2）設直線方程為y=kx+2，
把它代入x²+9y²=9，
整理得：（9k²+1）x²+36kx+27=0，
要使直線和橢圓有兩個不同交點，則△＞0，即k＜-，
設直線與橢圓兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點坐標為C（x，y），
則x=，y=，
從參數(shù)方程（k＜-），
消去k得：x²+9（y-1）²=9，且|x|＜3，0＜y＜．
綜上，所求軌跡方程為x²+9（y-1）²=9，其中|x|＜3，．
點評：此題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，用到的知識有韋達定理，中點坐標公式，參數(shù)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)，解答直線與圓錐曲線的交點問題時，常常聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消去一個變量得到一個一元二次方程，利用韋達定理及中點坐標公式解決問題，本題第二問是動點的參數(shù)方程問題，設出直線的斜率k作為參數(shù)來求軌跡方程．