Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）-sin（$\frac{π}{2}$-ωx）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=2，求$\frac{b-2c}{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式可求函數(shù)解析式為f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）由（1）可得2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得2A-$\frac{π}{6}$的范圍，進(jìn)而可求A的值，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$\frac{b-2c}{a}$=-2cosB，結(jié)合范圍B∈（0，$\frac{2π}{3}$），即可得解$\frac{b-2c}{a}$的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）-sin（$\frac{π}{2}$-ωx）=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{2π}{ω}$=π，
∴解得：ω=2．
（2）∵由（1）可得：f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=2，
∴2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵A∈（0，π），可得：2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{b-2c}{a}$=$\frac{sinB-2sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）=-2cosB，
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），cosB∈（-$\frac{1}{2}$，1），-2cosB∈（-2，1），
∴$\frac{b-2c}{a}$=-2cosB∈（-2，1），即$\frac{b-2c}{a}$的取值范圍為（-2，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式可，周期公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，熟練應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．