Question

某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是

30+6

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)三視圖，可得該三棱錐為如圖的三棱錐A-BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且側(cè)面ABC與底面ABC互相垂直，由此結(jié)合題中的數(shù)據(jù)結(jié)合和正余弦定理，不難算出該三棱錐的表面積．

解答：解：根據(jù)題意，還原出如圖的三棱錐A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
側(cè)面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
側(cè)面△ACD中，AC=

AE2+CE2

=5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，結(jié)合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，結(jié)合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=

22+42

=2

5

，BD=

52+42

=

41

，AD=

52+42

=

41

，
∴cos∠ADB=

41+41-20

2× 41 × 41

=

31

41

，得sin∠ADB=

1-( 31 41 )2

=

12 5

41

由三角形面積公式，得S_△ADB=

1

2

×

41

×

41

×

12 5

41

=6

5

又∵S_△ACB=

1

2

×5×4=10，S_△ADC=S_△CBD=

1

2

×4×5=10
∴三棱錐的表面積是S_表=S_△ADB+S_△ADC+S_△CBD+S_△ACB=30+6

5

故答案為：30+6

5

點評：本題給出三棱錐的三視圖，求該三棱錐的表面積，著重考查了三視圖的理解、線面垂直與面面垂直的判定與性質(zhì)和利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．