Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g（x）=x²-（a+1）x
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，討論函數(shù)h（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a-axf（x）與函數(shù)g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)F（x）=h（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍判斷即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=1，列表如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值1	單調(diào)遞減

因此增區(qū)間（0，1），減區(qū)間（1，+∞），極大值f（1）=1，無(wú)極小值．故函數(shù)f（x）的最大值為1
（2）令$F（x）=h（x）-g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+a-axf（x）-g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+（a+1）x-alnx，x＞0$，
問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
①當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，x＞0，F(xiàn)（x）有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時(shí)，F(xiàn)′（x）=-$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
②當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
所以F（x）為減函數(shù)．注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F(xiàn)（4）=-ln4＜0，
所以F（x）在（1，4）內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜x＜1，或x＞a時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，1＜x＜a時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）和（a，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，a）上單調(diào)遞增，
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}$＞0，F(xiàn)（2a+2）=-aln（2a+2）＜0，
所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜x＜a，或x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
所以F（x）在（0，a）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（a，1）上單調(diào)遞增，
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}$＞0，F(xiàn)（a）=$\frac{a}{2}$（a+2-2lna）＞0，F(xiàn)（2a+2）=-aln（2a+2）＜0，
所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
綜上，F(xiàn)（x）有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．