Question

右圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面），被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90⁰，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（I）設(shè)點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁
（II）求AB與平面AA₁CC₁所成角的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．
則OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D因為O是AB的中點，
所以．
則ODC₁C是平行四邊形，因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁
則OC∥面A₁B₁C₁． …．（7分）
（Ⅱ）解：如圖，過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂，
作BH⊥A₂C₂于H，
因為平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C，則BH⊥面AA₁C₁C．
連接AH，則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角．
因為，，所以．AB與面AA₁C₁C所成的角為．…．（14分）
解法二：
（Ⅰ）證明：如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標系，則A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因為O是AB的中點，所以，，
易知，是平面A₁B₁C₁的一個法向量．
由且OC?平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁．
…．（7分）
（Ⅱ）設(shè)AB與面AA₁C₁C所成的角為θ．
求得，．
設(shè)是平面AA₁C₁C的一個法向量，則由得，
取x=y=1得：．
又因為，，
所以，，則．
所以AB與面AA₁C₁C所成的角為．…．（14分）
分析：法一：（1）要證明OC∥平面A₁B₁C₁可利用線面平行的判定定理來證明則可過OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D則根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和平行的傳遞性可得OD∥AA₁交A₁B₁于D，并且根據(jù)梯形的中位線定理可得即可得ODC₁C是平行四邊形故OC∥C₁D然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證明．
（2）過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可得面BA₂C₂⊥面AA₁C₁C然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和△A₁B₁C₁的特征可得過B作面AA₁C₁C的垂線這垂足落在A₂C₂的中點H上則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角再利用條件解△AHB即可求解．
法二：可利用向量的有關(guān)知識來證明．根據(jù)題意可建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）根據(jù)空間直角坐標系可求出且平面A₁B₁C₁的一個法向量為再根據(jù)向量的數(shù)量積可得即可證明平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁．
（2）求出，和平面AA₁C₁C的一個法向量根據(jù)響亮的夾角公式可求出，，＜0故AB與平面AA₁CC₁所成角從而求出即θ=
點評：本題主要考查了線面平行的證明和線面角的求解．解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何法和向量法是解決此類問題常用的方法！