Question

設函數(shù)f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a為非零常數(shù)，
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）當x∈[1，2]時，不等式f（x）＞2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數(shù)，當a=1時寫出函數(shù)式，對函數(shù)求導，f′（x）＞0，得到f（x）在（1，+∞）上遞增，得到函數(shù)的增區(qū)間．
（2）利用（1）的單調性，求出函數(shù)f（x）的極值，進一步求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a為非零常數(shù)，
當a=1時，f（x）=

1

2

x2-lnx
f′(x)=x-

1

x

＞0，
∴當x＞1時，函數(shù)是一個增函數(shù)，
即函數(shù)的遞增區(qū)間是（1，+∞）
（2）當x屬于[1，2]，lnx＞0，
當a＞0時，命題可轉化為對于任意x屬于[1，2]，都有a＜

x2

2(2+lnx)

令g（x）=

x2

2(2+lnx)

，對函數(shù)求導得g′(x)=

6x+4xlnx

4(2+lnx)2

=0
∴x=e-

3

2

時，導數(shù)等于零，
經(jīng)驗證這是函數(shù)的極小值，
在這個閉區(qū)間上也是最小值，
∴g（x）的最小值是g（e-

3

2

）=e^-3
即當a為大于0常數(shù)且小于e^-3時，不等式f（x）＞2恒成立，
當a＜0時，

1

2a

＞

lnx+2

x2

在x屬于[1，2]時，不合題意．
綜上可知a的取值范圍是（0，e^-3）

點評：利用導數(shù)求函數(shù)的在區(qū)間上的最值，應該先求出導函數(shù)，判斷出導函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值，同時求出函數(shù)的區(qū)間端點值，選出最值．