中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓C的離心率為
1
2
，它的一個焦點和拋物線y2=-4x的焦點重合，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過直線l：x=4上一點M引橢圓C的兩條切線，切點分別是A，B，求證：AB過橢圓C的右焦點F；（可用結(jié)論：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上點P（x0，y0）處切線方程：
x0x
a2
+
y0y
b2
=1）
（3）在（2）的條件下，是否存在λ，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（I）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．拋物線y2=-4x的焦點是（-1，0），從而c=1，
c
a
=
1
2
，由此能求出橢圓C方程．
（II）設(shè)切點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），切線方程分別為
x1x
4
+
y1y
3
=1，
x2x
4
+
y2y
3
=1，從而直線AB的方程是x+
t
3
y=1，由此能證明直線AB恒過右焦點F（1，0）．
（III）將直線AB的方程x=-
t
3
y+1，代入橢圓方程，得（
t2
3
+4）y2-2ty-9=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出存在實數(shù)λ=
4
3
，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|．
解答： （I）解：設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
拋物線y2=-4x的焦點是（-1，0），故c=1，又
c
a
=
1
2
，
所以a=2，b=
a2-c2
=
3
，
所以所求的橢圓C方程為
x2
4
+
y2
3
=1．…（4分）
（II）證明：設(shè)切點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），
直線l上一點M的坐標(biāo)（4，t）．
則切線方程分別為
x1x
4
+
y1y
3
=1，
x2x
4
+
y2y
3
=1．
又兩切線均過點M，
即x1+
t
3
y1=1，x2+
t
3
y2=1，
即點A，B的坐標(biāo)都適合方程x+
t
3
y=1，而兩點之間確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是x+
t
3
y=1，
顯然對任意實數(shù)t，右焦點F（1，0）都適合這個方程，
故直線AB恒過右焦點F（1，0）．…（9分）
（III）解：將直線AB的方程x=-
t
3
y+1，代入橢圓方程，
得3（-
t
3
y+1）2+4y2-12=0，即（
t2
3
+4）y2-2ty-9=0，
所以y1+y2=
6t
t2+12
，y1y2=
-27
t2+12
，
不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，|AF|=
(x1-1)2+y12
=
(
t2
9
+1)y12
=
t2+9
3
y1，
同理|BF|=-
t2+9
3
y2，…（12分）
所以
1
|AF|
+
1
|BF|
=
3
t2+9
•（
1
y1
-
1
y2
）
=
3
t2+9
•
y2-y1
y1y2

=-
3
t2+9
•
(y2-y1)2
y1y2

=-
3
t2+9
•
(
6t
t2+12
)2+
108
t2+12
-27
t2+12

=
1
t2+9
•
144t2+9×144
9
=
4
3
，
∴|AF|+|BF|=
4
3
|AF|•|BF|．
故存在實數(shù)λ=
4
3
，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|．…（15分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過橢圓焦點的證明，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知二項式(
x
3
-
3
x
)9
（1）求它展開式的常數(shù)項；
（2）求它展開式中二項式系數(shù)最大的項．

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求下列不等式的解集：
（1）6x2-x-1≥0；
（2）-x2+4x-5＜0．

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過點P（1，0）作曲線C：y=xk（x∈（0，+∞），k＞1）的切線，切點為Q1，設(shè)點Q1在x軸上的投影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設(shè)點Q2在x軸上的投影是點P2；…依次下去，得到一系列點Q1，Q2，…Qn，…，設(shè)點Qn的橫坐標(biāo)為an．
（Ⅰ）求證：an=(
k
k-1
)n，n∈N*；
（Ⅱ）求證：an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）求證：
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
…+
n
an
＜k2-k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x，等差數(shù)列{an}的公差為2，f（a2+a4+a6+a8+a10）=9，則log3[f（a1）•f（a2）•f（a3）…f（a10）]=
 
．

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在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=acosϕ
y=bsinϕ
（a＞b＞0，ϕ為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線C1上的點M(1，
3
2
)對應(yīng)的參數(shù)ϕ=
π
3
，射線θ=
π
3
與曲線C2交于點D(1，
π
3
)．
（Ⅰ）求曲線C1，C2的方程；
（Ⅱ）若點A（ρ1，θ），B(ρ2，θ+
π
2
)在曲線C1上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p關(guān)于x的方程x2+2ax+4=0無實數(shù)解；命題q：函數(shù)f（x）=（3-2a）x是增函數(shù)，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

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已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（1）求證：（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
+|
b
|2，求f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+1
x2+2
，則f（x）的極小值為
 
，極大值為
 
．

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