已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（1）求證：（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
+|
b
|2，求f（x）的最大值和最小值．
考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,向量的模
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由已知得(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=cos2
3
2
x+sin2
3
2
x-(cos2
x
2
+sin2
x
2
)=0，由此能證明（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．
（2）f（x）=
a
•
b
+|
b
|2=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
+1=cos2x+1，由此能求出f（x）的最大值和最小值．
解答： （1）證明：∵
a
=（cos
3
2
x，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．
∴(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=cos2
3
2
x+sin2
3
2
x-(cos2
x
2
+sin2
x
2
)=1-1=0，
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．
（2）解：f（x）=
a
•
b
+|
b
|2
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
+1
=cos2x+1，
當(dāng)x=2kπ，k∈Z時(shí)，ymax=2，
x=2kπ+π，k∈Z時(shí)，ymin=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的證明，考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)的和為S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
an•an+1
}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓C的離心率為
1
2
，它的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，求證：AB過橢圓C的右焦點(diǎn)F；（可用結(jié)論：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上點(diǎn)P（x0，y0）處切線方程：
x0x
a2
+
y0y
b2
=1）
（3）在（2）的條件下，是否存在λ，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cosα=-
3
5
，且tanα＞0．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求
tanαcos3α
1-sinα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
8
+
y2
4
=1，直線l過點(diǎn)P（-2，1）交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．
（1）若P是AB中點(diǎn)，求直線l的方程及弦AB的長；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足：2f（x）+3f（x-1）=4x，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-acos2x-asinx+
3a
2
+b（a≠0）的定義域?yàn)閇-
π
2
，
π
2
]，值域?yàn)閇-4，5]，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x+
1
x
（x≥
1
2
）的值域?yàn)?div id="awvznqj" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
x+1
+lg（1-x）的定義域是
 
．

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