Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2x， -2≤x≤0 ln 1 x+1 ， 0＜x≤2

，若g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、（0，

  1

  2e

  ）
• C、[

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  ）
• D、[

  ln3

  3

  ，

  1

  2e

  ）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)的圖象

專題：數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用

分析：由題意可得|f（x）|=a（x+1）有3個不同的實根，即有函數(shù)y=|f（x）|與y=a（x+1）的圖象有3個交點，作出函數(shù)y=|f（x）|與y=a（x+1）的圖象，考慮直線經(jīng)過點（2，ln3）和y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切的情況，求得a，運用導數(shù)的幾何意義，即可得到a，進而通過圖象觀察即可得到所求范圍．

解答： 解：g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，
則|f（x）|=a（x+1）有3個不同的實根，
即有函數(shù)y=|f（x）|與y=a（x+1）的圖象有3個交點，
作出函數(shù)y=|f（x）|與y=a（x+1）的圖象，
當直線經(jīng)過點（2，ln3）兩圖象有3個交點，即有a=

ln3

3

；
當直線與y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切時，兩圖象有2個交點．
設切點為（m，n），則切線的斜率為

1

1+m

=a，
又n=a（m+1），n=ln（m+1）．
解得a=

1

e

，m=e-1＜2，
則圖象與x軸有3個不同的交點，即有a的取值范圍是[

ln3

3

，

1

e

）．
故選C．

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查分段函數(shù)的圖象，以及函數(shù)方程的轉化，運用數(shù)形結合的思想方法是解題的關鍵．