Question

對任意非負實數x，不等式（

x+1

-

x

）•

x

≤a恒成立，則實數a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：令f（x）=（

x+1

-

x

）•

x

，討論x=0和x＞0時，運用分離變量法，求得函數f（x）的范圍，再由恒成立思想即可得到a的范圍和最小值．

解答： 解：令f（x）=（

x+1

-

x

）•

x

，
則f（x）=

x (x+1-x)

x+1 + x

=

x

x + x+1

當x=0時，f（x）=0；
當x≠0時，f（x）=

1

1+ 1+ 1 x

∈（0，

1

2

），
不等式（

x+1

-

x

）•

x

≤a恒成立，
即有a≥

1

2

．
則實數a的最小值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值，運用函數的性質求出函數的范圍是解題的關鍵．