Question

（本小題滿分12分）在中，．

（Ⅰ）求重心G的軌跡方程

（Ⅱ）設P為（1）中所求軌跡上任意一點，求的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為AB、AC邊上的中線長為定值9，由重心的性質,知，即動點G到兩定點B、C的距離之和為定值6，且，所以點軌跡符合橢圓軌跡定義，根據橢圓定義相關性質易求得點軌跡方程；（Ⅱ）據已知，點在橢圓上，由橢圓定義可得（定值），，由余弦定理可得的表達式，結合相關等價變形和基本不等式可得所求．

試題解析：（Ⅰ）設的中點分別為（如下圖所示），則據題意

,即動點G到兩定點B、C的距離之和為定值6，,

點軌跡為以B、C為焦點的橢圓，

據題意可設橢圓方程為，則

，,即，根據橢圓的相關性質得，

所以點的軌跡方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點在橢圓上（如上圖所示），由橢圓定義可得（定值） ， ，由余弦定理可得:

，顯然當取得最大值時最小，

根據基本不等式得，即的最大值為9，

所以的最小值為．

考點：①橢圓的定義和性質；②橢圓的標準方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．