Question

【題目】已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線：相交于兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率是時(shí)，.

(1)求拋物線的方程；

(2)設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）b∈(2，＋∞)．

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的交點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用點(diǎn)斜式先寫出直線的方程，令直線與拋物線聯(lián)立，消參得到關(guān)于y的方程，利用韋達(dá)定理，得到和，再利用，解出，得到拋物線的方程；第二問，設(shè)出直線的方程，令拋物線與直線聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理，得到BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到BC的中垂線方程，令x=0，得到中垂線在y軸上的截距，再通過配方法求范圍.

試題解析：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，l的方程為y＝(x＋4)，即x＝2y－4.

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

∴①, ②

又∵，∴y2＝4y1，③

由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得拋物線G的方程為x2＝4y.

(2)設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，

由得x2－4kx－16k＝0，④

∴，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.

∴線段BC的中垂線方程為y－2k2－4k＝－ (x－2k)，

∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

對(duì)于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. ∴b∈(2，＋∞)．