Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）若是的中點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證面面垂直，就要證線(xiàn)面垂直，首選尋找直線(xiàn)垂直，在底面直角梯形中，，可證得，又可得，從而有平面，從而可得面面垂直；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）的證明，為了求直線(xiàn)與平面所成的角，以為原點(diǎn)，為軸，垂直于的直線(xiàn)為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，這樣易寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)后分別可得，求出平面和平面的法向量，由二面角與法向量夾角的關(guān)系求得，由向量和的夾角（或補(bǔ)角）與直線(xiàn)和平面所成的角互余可得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）證明：平面ABCD，平面ABCD，，

，，

，.

又，面，面.

平面，

∵平面，平面平面

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）

設(shè)（0，0，）（），則（，，），

，，，

取=（1，－1，0）

則，為面的法向量

設(shè)為面的法向量，則，

即，取，，，則，

依題意，，則

于是.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，

即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為