Question

5．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，又f（1）=-2．
（1）判斷f（x）的奇偶性及單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）若對(duì)任意x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），可得f（0）=0．取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），即可判斷出奇偶性．任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，化簡(jiǎn)即可得出單調(diào)性．
（2）利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0．
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）對(duì)任意x∈R恒成立，∴f（x）為奇函數(shù)．
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是R上的減函數(shù)．
（2）f（x）為奇函數(shù)，整理原式得f（ax²）+f（-2x）＜f（x）+f（-2），
則f（ax²-2x）＜f（x-2），
∵f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，∴ax²-2x＞x-2，
當(dāng)a=0時(shí)，-2x＞x-2在R上不是恒成立，與題意矛盾；
當(dāng)a＞0時(shí)，ax²-2x-x+2＞0，要使不等式恒成立，則△=9-8a＜0，即a＞$\frac{9}{8}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，ax²-3x+2＞0在R上不是恒成立，不合題意．
綜上所述，a的取值范圍為（$\frac{9}{8}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．