Question

6．設函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）+{sin^2}x$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，求出它的最小正周期；
（2）求出$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時f（x）的值域，即可得出f（x）的最大、最小值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）+{sin^2}x$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$）+sin²x
=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）+$\frac{1-cos2x}{2}$
=-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$；
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）當$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin2x∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$]，
即f（x）的最大值為$\frac{{2-\sqrt{3}}}{4}$，最小值為0．

點評 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是中檔題．