Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PC，若M，N分別為PB，AD的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）MN∥平面PDC；
（Ⅱ）PD⊥AC．

Answer 1

分析 （I）取PC的中點(diǎn)Q，連MQ，DQ，通過(guò)證明四邊形MNDQ是平行四邊形得出MN∥DQ，故MN∥平面PCD；
（II）連結(jié)AC，根據(jù)AC⊥BD，AC⊥OP得出AC⊥平面PBD，故而AC⊥PD．

解答 證明：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)Q，連MQ，DQ，
則MQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，又ND$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴MQ$\stackrel{∥}{=}$ND，
∴四邊形MNDQ為平行四邊形，
從而MN∥DQ，
又∵DQ?面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥面PCD．
（Ⅱ）連結(jié)AC交BD于O，則O是AC的中點(diǎn)，
∵PA=PC，
∴PO⊥AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又BD∩OP=O，
∴AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，
∴AC⊥PD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題．