Question

試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，則f（x）可以是________．

Answer 1

f（x）=．
分析：函數(shù)f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立?[f（-x）]²=[f（x）]²?[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0?f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；而f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，可構(gòu)造分段函數(shù)滿足即可．
解答：∵函數(shù)f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，
∴[f（-x）]²=[f（x）]²，即[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0，
∴f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；
而f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，
故可令函數(shù)f（x）=．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，難點(diǎn)在于對“函數(shù)f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)”的理解與應(yīng)用，考查深度思維，屬于中檔題．