Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

(1)求證：PC⊥BC；

(2)求點A到平面PBC的距離．

 

 

Answer 1

(1)證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1) 由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC，由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD，那么PC⊥BC；（2）利用等積法，先求出棱錐的體積V＝S△ABC·PD＝，再求出S△PBC＝，由S△PBC·h＝V＝，得h＝．

【解析】
(1)證明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC． 1分

由∠BCD＝90°，得CD⊥BC． 3分

又PD∩DC＝D， PD，DC 平面PCD，

∴ BC⊥平面PCD． 5分

∵ PC 平面PCD，故PC⊥BC． 7分

(2)連接AC，設(shè)點A到平面PBC的距離為h．

∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°． 8分

由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S△ABC＝1． 9分

由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱錐P-ABC的體積

V＝S△ABC·PD＝． 10分

∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC． ....11分

又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，

得△PBC的面積S△PBC＝． .. ..12分

∵ VA - PBC＝VP - ABC，

∴ S△PBC·h＝V＝，得h＝． .13分

故點A到平面PBC的距離等于． 14分

考點：1.線、面之間的平行與垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)；2.三棱錐的體積.