Question

【題目】某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo)，對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì)，依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí)，他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù)；
（Ⅱ）在某場(chǎng)比賽中，考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況，并且規(guī)定：運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí)，他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分，否則扣掉1分．用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分，將頻率視為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（I） 設(shè)該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)為x，
∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，
∴x∈[4，5]
由0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，解得x=4.25，
∴該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)是4.25（米）．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得投籃命中時(shí)距離籃筐距離超過(guò)4米的概率為p= ，
隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為﹣4，﹣2，0，2，4，
，
，
，
，
，
，
∴X的分布列為：

X	﹣4	﹣2	0	2	4
P

EX=（﹣4）× +（﹣2）× +0× +2× +4× =
【解析】（I） 設(shè)該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)為x，推導(dǎo)出0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，由此能求出該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)．（Ⅱ）由頻率分布直方圖得投籃命中時(shí)距離籃筐距離超過(guò)4米的概率為p= ，隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為﹣4，﹣2，0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．