Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數，且當時，f（x）取得極小值．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求使得方程僅有整數根的所有正實數n的值；
（3）設g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）為奇函數，知b=d=0，由及，知a=-1，c=1，由此能求出f（x）．
（2）由方程，知x²-nx+4n=0，由方程僅有整數解，知n為整數，由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0，由此能求出n．
（3）由g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函數，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．構造函數h（x）=x³-3tx，利用導數性質能求出g（x）的最大值F（t）．
解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，∴b=d=0，…（2分）
又由及，得a=-1，c=1，
∴f（x）=-x³+x．…（4分）
當時，f'（x）＜0，
當時f'（x）＞0，
∴f（x）在時取得極小值，
∴f（x）=-x³+x為所求．…（5分）
（2）方程，
化簡得：x²-nx+4n=0，
因為方程僅有整數解，故n為整數，
又由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又，
故x-4為16的正約數，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，進而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因為g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函數，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
記h（x）=x³-3tx，∵h'（x）=3x²-3t=3（x²-t），
①t≤0時，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上單調增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0時，由h'（x）=0得，，和，
i．當即t≥1時，h（x）在[0，1]上單調減，
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．當即0＜t＜1時，h（x）在單調減，單調增，
（Ⅰ）當，即時，，∴，
（Ⅱ）當，即時，，∴F（t）=h（1）=1-3t，
綜上可知，．…（16分）
點評：本題考查函數的解析式的求法，考查所有正實數值的求法，考查函數的最大值的求法，解題時時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．