已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,g(x)=x+ax3,a為常數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域M;
(2)若a=0時,對于x∈M,比較f(x)與g(x)的大;
(3)討論方程f(x)=g(x)解的個數(shù).

解:(1)由,得:-1<x<1,∴函數(shù)f(x)的定義域M=(-1,1). …(3分)
(2)令h(x)=f(x)-g(x),則a=0時,h(x)=
=(僅在x=0時,h'(x)=0)
∴h(x)在M=(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),…(6分)∴當(dāng)-1<x<0時,h(x)<h(0)=0,f(x)<g(x);
當(dāng)x=0時,h(x)=h(0)=0,f(x)=g(x);當(dāng)0<x<1時,h(x)>h(0)=0,f(x)>g(x). …(8分)
(3)討論方程f(x)=g(x)解的個數(shù),即討論h(x)=f(x)-g(x)零點(diǎn)的個數(shù).
因?yàn)閔(x)=,所以=
①當(dāng)a<0時,,x2<1,所以h'(x)═(僅在x=0時,h'(x)=0)h(x)在M=(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),
又h(0)=0,所以h(x)有唯一零點(diǎn); …(9分)
②當(dāng)a=0時,由(2)知h(x)有唯一零點(diǎn); …(10分)
③當(dāng)時,,0≤x2<1h'(x)═(僅在x=0時,h'(x)=0)
所以h(x)在M=(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),又h(0)=0,所以h(x)有唯一零點(diǎn); …(11分)
④當(dāng)時,,h'(x)=,或時,h'(x)>0,h(x)遞增,時,h'(x)<0,h(x)遞減.;
x→-1+時,h(x)→-∞; x→1-時,h(x)→+∞,
∴h(x)在區(qū)間,內(nèi)各有一個零點(diǎn).
…(13分)
綜上,當(dāng)時,方程f(x)=g(x)有唯一解;
當(dāng)時,方程f(x)=g(x)有三個解. …(14分)
分析:(1)由題意,真數(shù)大于0,可得不等式,從而確定函數(shù)f(x)的定義域M;
(2)a=0時,h(x)=.求導(dǎo)函數(shù)可知h(x)在M=(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),從而可解;
(3)討論方程f(x)=g(x)解的個數(shù),即討論h(x)=f(x)-g(x)零點(diǎn)的個數(shù).由于=,故對a進(jìn)行討論,從而確定函數(shù)的零點(diǎn).
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的定義域,考查利用單調(diào)性比較大小,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題,有一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知函數(shù)y=g(x)與f(x)=loga(x+1)(a>1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(1)寫出y=g(x)的解析式;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)+m為奇函數(shù),試確定實(shí)數(shù)m的值;
(3)當(dāng)x∈[0,1)時,總有f(x)+g(x)≥n成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=G(x)的圖象過原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為y=f(x),函數(shù)f(x)=3x2+2bx+c且滿足f(1-x)=f(1+x).
(1)若f(x)≥0,對x∈[0,3]恒成立,求實(shí)數(shù)c的最小值.(2)設(shè)G(x)在x=t處取得極大值,記此極大值為g(t),求g(t)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)f(x)=(x-1)2(x≤0)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=
-
x
+1
(x≥1)
-
x
+1
(x≥1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,g(x)=log2x,函數(shù)f(x)=4-x2,則函數(shù)f(x)•g(x)的大致圖象為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知f(x)+2f(
1x
)=3x,求f(x)的解析式;
(2)已知函數(shù)y=g(x)定義域是[-2,3],求y=g(x+1)的定義域.

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