Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x^m•|xⁿ-a|．
（1）若m=0，n=1，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（不必證明）；
（2）若m=1，n=1，當a＞2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由m=0，n=1，則f（x）=x^m•|xⁿ-a|=|x-a|，故可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
（2）由m=1，n=1，則f（x）=x^m•|xⁿ-a|=x•|x-a|=

x2-ax，x＞a -x2+ax，x≤a

，當a＞2時，函數(shù)y=f（x）=-x²+ax的對稱軸為x=

a

2

，通過判斷

a

2

與[1，2]的位置關系得到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值即可．

解答：解：（1）由m=0，n=1，則f（x）=x^m•|xⁿ-a|=|x-a|=

x-a，x＞a -x+a，x≤a

，故可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
（2）由于m=1，n=1，則f（x）=x^m•|xⁿ-a|=x•|x-a|=

x2-ax，x＞a -x2+ax，x≤a

，
故當a＞2時，函數(shù)y=f（x）=-x²+ax的對稱軸為x=

a

2

，
①當1＜

a

2

≤2，即2＜a≤4時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（

a

2

）=

a2

4

；
②當

a

2

＞2，即a＞4時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=2a-4．
綜上，當2＜a≤4時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為

a2

4

，
當a＞4時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為2a-4．

點評：本題考查去絕對值號的方法，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想．