Question

6．設(shè)a，b為正實數(shù)，且（a-b）²=$\frac{9}{ab}$，則當(dāng)a+b取到最小值時，a=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意a+b的最小值，可求（a+b）²的最小值，即有（a+b）²=$\frac{9}{ab}$+4ab，運用基本不等式可得最小值，注意等號成立的條件，解方程可得a的值．

解答 解：由（a-b）²=$\frac{9}{ab}$（a，b＞0），
可得（a-b）²+4ab=$\frac{9}{ab}$+4ab，
即為（a+b）²=$\frac{9}{ab}$+4ab≥2$\sqrt{4ab•\frac{9}{ab}}$=12，
當(dāng)且僅當(dāng)4ab=$\frac{9}{ab}$，即ab=$\frac{3}{2}$，取得等號．
且（a-b）²=$\frac{9}{ab}$，解得a=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
則當(dāng)a+b取到最小值時，a=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意化簡變形，考查運算能力，屬于中檔題．