Question

已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0．
（1）求過點（

3

2

，1）且被圓截得弦長為

3

的直線方程．
（2）直線 l：y=kx，l與圓C交與A、B兩點，點M（0，b）且MA⊥MB當b=1時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標，即可得到圓心與已知點連線與弦所在的直線垂直，根據(jù)圓心與已知點的縱坐標相同寫出連線的方程，顯然根據(jù)已知點的橫坐標即可寫出所求直線的方程；
（2）把直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出k的范圍，根據(jù)韋達定理表示出兩個之和與兩根之積，由M的坐標及A，B的坐標表示出

MA

與

MB

，由MA⊥MB，得到

MA

•

MB

=0，利用平面向量的數(shù)量積運算化簡后，將b=1代入即可得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：（1）把圓的方程化為標準方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，
所以圓心坐標為（1，1），r=1，
根據(jù)題意可知：圓心（1，1）與點（

3

2

，1）的連線與所求直線垂直，
由圓心（1，1）與點（

3

2

，1）的連線的方程為y=1，
得到所求直線的方程為：x=

3

2

；
（2）聯(lián)立得

x2+y2-2x-2y+1=0 y=kx

，
整理得（k²+1）x²-（2k+2）x+1=0，
由△＞0得k＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（0，b），
由韋達定理得：x1+x2=

2k+2

k2+1

，x1x2=

1

k2+1

，
由MA⊥MB得：

MA

•

MB

=0，即（k²+1）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
把b=1代入得：1-

k(2k+2)

k2+1

+1=0，即2k=2，
解得：k=1．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，韋達定理及平面向量的數(shù)量積運算．要求學生理解兩向量垂直時其數(shù)量積為0，同時注意利用韋達定理時根的判別式要大于等于0，即方程要有實數(shù)根．熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．