Question

11．若函數(shù)f（x）在其定義域的一個(gè)子集[a，b]上存在實(shí)數(shù) （a＜m＜b），使f（x）在m處的導(dǎo)數(shù)f′（m）滿足f（b）-f（a）=f′（m）（b-a），則稱m是函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個(gè)“中值點(diǎn)”，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²在[0，b]上恰有兩個(gè)“中值點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（$\frac{3}{2}$，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義得到x₁，x₂為方程x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b=0在（0，b）上有兩個(gè)不同根，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b，列出不等式組，解得即可

解答 解：f′（x）=x²-2x，
設(shè) $\frac{f（b）-f（0）}{b-0}$=$\frac{1}{3}$b²-b，
由已知可得x₁，x₂為方程x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b=0在（0，b）上有兩個(gè)不同根，
令g（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$b²+b，
則 $\left\{\begin{array}{l}{g（0）=-{\frac{1}{3}b}^{2}+b＞0}\\{g（b）={\frac{2}{3}b}^{2}-b＞0}\\{△=4+{\frac{4}{3}b}^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{2}$＜b＜3，
故答案為：$（\frac{3}{2}，3）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是在新定義下考查二次方程根的問(wèn)題．在做關(guān)于新定義的題目時(shí)，一定要先認(rèn)真的研究定義理解定義，再按定義做題．