Question

11．已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足2S_n+a_n=1，等差數列{b_n}中，b₁=1，b₂=2．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求證：c${\;}_{1}+{c}_{2}+{c}_{3}+…+{c}_{n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用數列{a_n}的前n項和2S_n+a_n=1再寫一式，兩式相減可得數列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，從而可得數列{a_n}的通項公式；利用等差數列{b_n}中，b₁=1，b₂=2可得{b_n}的通項公式；
（2）c_n=a_n•b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．利用錯位相減法，可得結論．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和2S_n+a_n=1，∴n≥2時，2S_n-1+a_n-1=1，
∴兩式相減可得3a_n=a_n-1，
∵n=1時，2S₁+a₁=1，∴a₁=$\frac{1}{3}$，
∴數列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$；
∵等差數列{b_n}中，b₁=1，b₂=2，
∴b_n=n；
（2）c_n=a_n•b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$
兩式相減可得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{2n+3}{2×{3}^{n+1}}$
∴T_n=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4×{3}^{n}}$＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．