如圖,直三棱柱
ABC-
A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,
AB=
BC=
,
BB1=3,
D為
A1C1的中點(diǎn),
F在線段
AA1上.
(1)
AF為何值時(shí),
CF⊥平面
B1DF?
(2)設(shè)
AF=1,求平面
B1CF與平面
ABC所成的銳二面角的余弦值.
(1)
AF=1或2時(shí),
CF⊥平面
B1DF(2)銳二面角的余弦值
(1)因?yàn)橹比庵?i>ABC-
A1B1C1中,
BB1⊥面
ABC,∠
ABC=
.
以
B點(diǎn)為原點(diǎn),
BA、
BC、
BB1分別為
x、
y、
z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?i>AC=2,∠
ABC=90º,所以
AB=
BC=,
從而
B(0,0,0),
A,
C,
B1(0,0,3),
A1,
C1,
D,
E.
所以
,
設(shè)
AF=
x,則
F(,0,
x),
.
,所以
要使
CF⊥平面
B1DF,只需
CF⊥
B1F.
由
=2+
x(
x-3)=0,得
x=1或
x=2,
故當(dāng)
AF=1或2時(shí),
CF⊥平面
B1DF.……………… 5分
(2)由(1)知平面
ABC的法向量為
n1=(0,0,1).
設(shè)平面
B1CF的法向量為
,則由
得
令
z=1得
,
所以平面
B1CF與平面
ABC所成的銳二面角的余弦值
………………… 10分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,圓錐
中,
、
為底面圓的兩條直徑,
,且
,
,
為
的中點(diǎn).
(1)求圓錐
的表面積;
(2)求異面直線
與
所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,∠C=45°,AD=AB=2,把梯形沿BD折起成60°的二面角C′-BD-A.求: (1)C′到平面ADB的距離;
(2)AC′與BD所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐
P—ABCD中,
PD⊥底面
ABCD,底面
ABCD為正方形,
PD=
DC,
E、
F分別是
AB,
PB的中點(diǎn).
(I)求證:
EF⊥
CD;
(II)求
DB與平面
DEF所成角的正弦值;
(III)在平面
PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)
G,使
G在平面
PCB上的射影為△
PCB的外心,若存在,試確定點(diǎn)
G的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
右圖幾何體是由下邊的哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為面A1B1C1D1的中心,求證:PA⊥PB1.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(1)求證:
平面
(2)求二面角
的大小
(3)求直線AB與平面
所成線面角的正弦值
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