【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)．

⑴求橢圓的方程；

⑵若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)（三點(diǎn)不共線），為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，直線，直線的斜率滿足.

（ⅰ）求證： 是定值；

（ⅱ）設(shè)的面積為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程．

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：（1）由題可知： ，可設(shè)橢圓方程為，由橢圓過點(diǎn)，即可求出， 的值，從而求出橢圓的方程；（2）（ⅰ）設(shè)直線AB方程為： ， ， ，根據(jù)，可化簡得，再根據(jù)三點(diǎn)不共線，進(jìn)而化簡得，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理，即可解得，從而可得，(ⅰ)表示出，即可求出定值；（ⅱ）表示出= ，結(jié)合的取值范圍及基本不等式，求出取得最大值時的值，進(jìn)而可求出直線方程.

試題解析：（1）由題可知： ，可設(shè)橢圓方程為，又因橢圓過點(diǎn)，則，解得，所以橢圓方程為

（2）設(shè)直線AB方程為： ， ，

∵

∴，化簡得：

∵A、O、B三點(diǎn)不共線

∴ 則 ①

由可得: ,

由韋達(dá)定理可得 ② 且 ③

將②代入①式得： ，解得，則 ④

(ⅰ) ==

將④代入得==

(ⅱ) ==

由 ③ ④ 可得： ，則==，

當(dāng)且僅當(dāng)時，直線方程為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若在時取到極值,求的值及的圖象在處的切線方程;

(2)若在時恒成立,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ， .

（1）若存在極值點(diǎn)1，求的值；

（2）若存在兩個不同的零點(diǎn)，求證： （為自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（， ）.

（1）如果曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求， 的值；

（2）若， ，關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只有一個，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列（，且），數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）若對一切都有，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（I）若曲線存在斜率為-1的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（II）求的單調(diào)區(qū)間；

（III）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)時， 在上存在極小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)e-x，a∈R

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)g(x)=f’(x)，其中f’(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).判斷g(x)在定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，已直曲線,將曲線C上的點(diǎn)向左平移一個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線C1，又已知直線，且直線與C1交于A、B兩點(diǎn)，

（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；

（2）設(shè)定點(diǎn), 求的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個零點(diǎn)．

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