Question

【題目】數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列（，且），數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）若對(duì)一切都有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可得，利用錯(cuò)位相減法求解即可；（2）由得，討論時(shí)， 時(shí)兩種情況，分別分離參數(shù)，求出的最值，即可求的取值范圍.

試題解析：（1）∵數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

∴．

從而，∴ ．

設(shè)，則，

∴ ，

∴，∴．

（2）由得．

①當(dāng)時(shí)， ，可得，

∵， ，

∴對(duì)一切都成立，此時(shí)的解為；

②當(dāng)時(shí)， ，可得，

∵， ，

∴對(duì)一切都成立時(shí)．

由①，②可知，對(duì)一切都有的的取值范圍是或．

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式、“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.