Question

在數(shù)列{a_n}中，且
（1）求a₃、a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)，求證：對?n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n．

Answer 1

（1）解：∵，
∴a₃=，a₄=，
猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①顯然當n=1，2，3，4時，結(jié)論成立；
②假設(shè)當n=k（k≥3）時，結(jié)論成立，即
則n=k+1時，===
∴n=k+1時，結(jié)論成立
綜上，；
（2）證明：=（）
∴b₁+b₂+…+b_n=[（）+（-）+…+（）]=（）
要證b₁+b₂+…b_n，只需證明（）
即證
即證3n+2-2＜3n-1
即證，顯然成立
∴b₁+b₂+…+b_n．
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，計算a₃、a₄，猜想通項，利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求和，再用分析法進行證明．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．