Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-7）x+18有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）直接利用定義把條件轉(zhuǎn)化為ax²+（b-8）x+18=0的兩個(gè)根是-3和2，即可求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）先對字母t進(jìn)行分類討論，再結(jié)合二次的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的最大值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+（b-7）x+18的不動(dòng)點(diǎn)是-3和2
∴ax²+（b-8）x+18=0的兩個(gè)根是-3和2
∴

8-b a =-1 18 a =-6

⇒

a=-3 b=5

∴f（x）=-3x²-2x+18…（6分）
（2）①當(dāng)t≥-

1

3

時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，g（t）=-3t²-2t+18
②當(dāng)t+1≤-

1

3

即t≤-

4

3

時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，g（t）=-3t²-8t+13
③當(dāng)t＜-

1

3

＜t+1即-

4

3

＜t＜-

1

3

時(shí)，f（x）在[t，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，t+1]遞減，
∴g(t)=

55

3

…（12分）
綜上可知：g(t)=

-3t2-2t+18(t≥- 1 3 ) 55 3 (- 4 3 ＜t＜- 1 3 ) -3t2-8t+13(t≤- 4 3 )

…（13分）

點(diǎn)評：本題以新定義為載體，考查函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．