Question

△ABC中，∠B=45°，AC=

10

，cosC=

2 5

5

，
（1）求sinA；（2）求BC的長(zhǎng)；（3）若D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，利用cosC求得sinC，進(jìn)而利用兩角和公式求得sinA．
（2）先由cosC求得sinC，進(jìn)而根據(jù)sinA=sin（180°-45°-C）求得sinA，再由正弦定理知求得BC．
（3）先由正弦定理知求得AB，進(jìn)而可得BD，再在△BCD中由余弦定理求得CD．

解答：解：（1）由 cosC=

2 5

5

，C是三解形內(nèi)角，
所以可得：sinC=

1-cos2C

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin

π

4

cosC+cos

π

4

sinC
=

2

2

•

2

5

5

+

2

2

•

5

5

=

3 10

10

．
（2）由（1）可得：sinA=

3 10

10

所以由正弦定理知 BC=

AC

sinB

•sinA=

10

2 2

•

3 10

10

=3

2

．
（3）由正弦定理可得：AB=

AC

sinB

•sinC=

10

2 2

•

5

5

=2，
因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，
所以BD=

1

2

AB=1．
在△BCD中由余弦定理知：
CD=

BD2+BC2-2BD•BCcosB

=

1+18-2•1•3 2 • 2 2

=

13

．
所以中線CD的長(zhǎng)為

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，涉及了同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和公式，綜合性很強(qiáng)．