Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為棱上的一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，若平面，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)要證平面平面轉(zhuǎn)證平面，結(jié)合條件面面垂直可證；

(2)先證明平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出直線與平面所成角的正弦值.

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

平面平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知，

在中，由余弦定理得，所以，

所以，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

由得，取，則，，所以.

又，，，

設(shè)直線平面所成角為.

則 ，

所以直線與平面所成角的正弦值為.