Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₂與a₁₀的等差中項(xiàng)是-4，且a₁•a₆=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)f（n）=

2Sn-2an

n

（n∈N₊），求f（n）最小值及相應(yīng)的n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a₁、公差d，代入通項(xiàng)公式求出a_n；
（Ⅱ）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，代入f（n）=

2Sn-2an

n

化簡后，利用基本不等式求出f（n）最小值及相應(yīng)的n的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂與a₁₀的等差中項(xiàng)是-2，
∴a₆=

1

2

（a₂+a₁₀）=-2，…（2分）
∵a₁•a₆=14，∴a₁=-7，…（4分）
∴公差d=

a6-a1

6-1

=1，
則a_n=-7+（n-1）=n-8．…（6分）
（Ⅱ）∵a₁=-7，a_n=n-8，∴Sn=

n(-7+n-8)

2

=

1

2

n2-

15

2

n…（8分）
∴f（n）=

2Sn-2an

n

=

n2-15n-2(n-8)

n

=n+

16

n

-17≥2

n• 16 n

-17=-9…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=

16

n

即n=4時(shí)取等號(hào)，
故當(dāng)n=4時(shí)，所求最小值為-9…（13分）

點(diǎn)評：本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．