Question

1．已知 $A（{cos^2}x，sinx），B（1，cosx），設(shè)f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}，O為坐標(biāo)原點$，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量坐標(biāo)的運用，求出f（x）的解析式，化簡，即可求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，求出內(nèi)層函數(shù)范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和最值．

解答 解：由題意，f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cos²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，
那么2x$+\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴$-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即$-\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}$，函數(shù)f（x）是單調(diào)性遞增，
故得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]．
當(dāng)$-\frac{π}{2}$=2x$+\frac{π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$-1×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．