Question

11．已知$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$sin（\frac{β}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則$cos（α-\frac{β}{2}）$=（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{9}$
• D． $-\frac{{\sqrt{6}}}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用三角恒等變換和同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出$cos（α-\frac{β}{2}）$的值．

解答 解：$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
又$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$sin（\frac{β}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$cos（α-\frac{β}{2}）$=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）]
=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{3}$×（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查了三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．