已知函數(shù)f(x)=x-
1
xm
且f(2)=
3
2
，x∈(0，+∞)．
（1）判斷f（x）在其定義域上的單調性并證明；
（2）若f（3x-2-1）＜f（9x-1），求x的取值范圍．
分析：（1）先根據(jù)f（x）的解析式，求出m的值，然后在定義域內任取兩個值，并規(guī)定大小，判定它們函數(shù)值差的符號，根據(jù)單調性的定義進行判定；
（2）先根據(jù)題意可知3x-2-1與9x-1都應在定義域內，在根據(jù)函數(shù)f（x）的單調性建立關系式，最后解不等式組即可求出x的范圍．
解答：解：（1）∵f(2)=
3
2
，
∴2-
1
2m
=
3
2
，
∴m=1，
∴f(x)=x-
1
x
（3分）
在（0，+∞）內任取兩個值x1，x2，且x1＜x2（4分）
f(x1)-f(x2)=(x1-
1
x1
)-(x2-
1
x2
)=
(x1-x2)(1+x1x2)
x1x2
（7分）
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∵x1＞0，x2＞0，
∴x1x2＞0，1+x1x2＞0，∴f（x1）＜f（x2）（9分）
所以f（x）在其定義域上是單調增函數(shù)．（10分）
（2）由題意得：
3x-2-1＞0
9x-1＞0
3x-2-1＜9x-1
（13分）
∴
x＞2
x＞0
x＞-2
，∴x＞2（16分）
點評：本題主要考查了函數(shù)單調性的應用，函數(shù)單調性在高考中的考查是比較常見的，屬于屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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