在△ABC中，若AB=2，AC2+BC2=8，則△ABC面積的最大值為    ．
【答案】分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知的兩等式代入得到cosC=，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到cotC=，把表示出的cosC代入，整理后根據(jù)三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，用tanC表示出三角形ABC的面積S，要求面積S的最大值，即要求tanC的最大值，而cosC在（0，90°）為減函數(shù)，tanC為增函數(shù)，故cosC取得最小值，tanC就取得最大值，根據(jù)余弦定理表示出的cosC得到，a=b時(shí)cosC取得最小值，由a與b的關(guān)系式求出a=b=2，即三角形ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形時(shí)面積最大，根據(jù)邊長(zhǎng)為2即可求出此時(shí)三角形ABC面積，即為面積的最大值．
解答：解：令A(yù)C=b，BC=a，AB=c，則c=2，a2+b2=8，
根據(jù)余弦定理得：cosC==，
∴cotC====，
即S=tanC，又0＜C＜90°，且tanC單調(diào)增，
而cosC=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，cosC最小，
又cosC單調(diào)減，cosC最小時(shí)，tanC最大，又a2+b2=8，
則當(dāng)a=b=2，即△ABC為等邊三角形時(shí)，△ABC面積最大，最大面積為×22=．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式以及三角形的面積公式，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握公式及余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在△ABC中，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，則△ABC的形狀是（　�。�
A、直角三角形
B、正三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，若
AB
•
AC
=
AB
•
CB
=4，則邊AB的長(zhǎng)等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S為線段BC的四等分點(diǎn)，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列五個(gè)結(jié)論：
①?x∈R，2x＞x2
②“若x2＜1，則-1＜x＜1”的逆否命題是“若-1＜x＜1，則x2≥1”；
③要得到y(tǒng)=cos2x的圖象，只需要將y=sin（2x+
π
4
）的圖象向左平移
π
8
個(gè)單位；
④在△ABC中，若
AB
•
CA
＞0，則∠A為銳角；
⑤函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
）在[0，
π
12
]上是增函數(shù)，在[
π
12
，
π
2
]上是減函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
③⑤
③⑤
．（填寫你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
（1）設(shè)
a
、
b
都是非零向量，則“
a
•
b
=±|
a
|•|
b
|”是“
a
、
b
共線”的充要條件
（2）將函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
（3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=
π
3
，則△ABC必為銳角三角形；
（4）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；
其中正確命題的序號(hào)是
（1）（3）
（1）（3）
（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

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