Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2an﹣2，數(shù)列{bn}是首項為a1 ， 公差不為零的等差數(shù)列，且b1 ， b3 ， b11成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ，前n項和為Pn ， 對于n∈N*不等式 Pn＜t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=2a1﹣2，a1=2，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，

得an=2an﹣1，

∴數(shù)列{an}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n．

則b1=a1=2，設(shè)公差為d，則b1，b3，b11成等比數(shù)列，

得（2+2d）2=2×（2+10d），

解得d=0（舍去）或d=3

∴數(shù)列{bn}的通項公式為bn=3n﹣1

（2）解：cn= = = （ ﹣ ）

則pn= （ +…+ - ）= （ ） ，

又對于n∈N*不等式 Pn＜t恒成立，

所以實數(shù)t的取值范圍是t≥

【解析】（1）根據(jù)當n=1時a1=S1 ， 當n≥2時an=Sn﹣Sn﹣1 ， 判斷出數(shù)列{an}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，并求出
an ， 由等比中項的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式求出bn；（2）由（1）和題意求出cn ， 利用裂項相消法求出前n項和Pn ， 化簡后求出Pn的范圍，由恒成立求出實數(shù)t的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數(shù)列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．